渐开线的定义
平面上一动直线沿固定圆作纯滚动时﹐此直线上任意一点的轨迹为该圆的渐开线。
如下图，点$K$的轨迹为渐开线。其中固定圆称为基圆，半径为$r_b$。$BK$称为渐开线的发生线。$\theta_k$称为展角
图一
可以看下面的视频及动图可以更加直观的理解渐开线的定义
图二
渐开线极坐标方程
图三
在$\vartriangle OBK$中
$$ \begin{align} r_K &= \frac{r_b}{\cos \alpha_K} \\ |BK| &= r_b \cdot \tan\alpha_K \end{align} $$
根据定义很容易就能得到如下的性质
$$|BK| = |\stackrel{\frown}{AB}| = (\theta_K + \alpha_K)r_b \tag{3}$$
注意$(3)$式中的$\theta_K$和$\alpha_K$为弧度表示，代入$(2)$中后可得
$$\theta_K = \tan{\alpha_K} - \alpha_K \tag{4}$$
将$(1)$和$(4)$组成一个新的方程组：
$$ \begin{equation*} \begin{cases} \begin{align*} r_K &= \frac{r_b}{\cos{\alpha_K}} &,\alpha_K\text{为角度} \qquad \qquad \tag{5}\\ \theta_K &= \tan{\alpha_K} - \alpha_K &,\alpha_K\text{为弧度} \qquad \qquad\tag{6}\\ \end{align*} \end{cases} \end{equation*} $$
这个方程组是$K$点的极坐标参数方程，中间参数为$\alpha_K$。需要注意$(5)$中的$\alpha_K$为角度，$(6)$中的$\alpha_K$为弧度。
渐开线的直角坐标方程
图四
为了构建直角坐标方程，我使用Geogebra重新画了如上图的坐标系。$BK$为发生线，$K$点的轨迹即为渐开线。图中的$\alpha_K$和$\theta_K$与上面极坐标方程中的符号含义相同，$\beta = \alpha_K + \theta_K$。我们尝试来求出$K$的参数方程。
假设$K$坐标为$(x_K,y_K)$，同时$B$点坐标为$(r_b cos{\beta},r_b sin{\beta})$。$\because BK \perp OB$，可以得到：
$$ \begin{align*} &\overrightharpoon{OB} \cdot \overrightharpoon{BK} = 0 \\ \implies &(r_b \cos{\beta},r_b \sin{\beta}) \cdot (x_K-r_b \cos{\beta},y_K-r_b \sin{\beta}) =0 \\ \implies &(x_K-r_b \cos{\beta})r_b \cos{\beta} + (y_K-r_b \sin{\beta})r_b \sin{\beta} = 0 \\ \implies &x_K \cos{\beta} + y_K \sin{\beta} = r_b \tag{7} \end{align*} $$
根据渐开线定义又有：
$$ \begin{align*} &|\overrightharpoon{BK}| = |\stackrel{\frown}{AB}| = \beta r_b \\ \implies &|\overrightharpoon{BK}|^2 = \beta^2 r_b^2 \\ \implies &(x_K - r_b \cos{\beta})^2 + (y_K - r_b \sin{\beta})^2 =\beta^2 r_b^2 \tag{8} \\ \end{align*} $$
等式$(7)$和$(8)$可以组成方程组，由$(7)$可以得到：
$$\tag{9} x_K = \frac{r_b - y_K \sin{\beta}}{\cos{\beta}}$$
将$(9)$代入$(8)$得到：
$$ \begin{align*} (\frac{r_b - y_K \sin{\beta}}{\cos{\beta}} - r_b \cos{\beta})^2 + (y_K - r_b \sin{\beta})^2 &= \beta^2 r_b^2 \\ (\frac{r_b - y_K \sin{\beta}}{\cos{\beta}})^2 - 2 \frac{r_b - y_K \sin{\beta}}{\cos{\beta}} \cdot r_b \cos{\beta} + r_b^2 \cos^2{\beta} + y_K^2 - 2 r_b \sin{\beta} y_K +r_b^2 \sin^2{\beta} &= \beta^2 r_b^2 \\ (\frac{r_b - y_K \sin{\beta}}{\cos{\beta}})^2 -2 r_b^2 + 2 r_b \sin{\beta} \cdot y_K + y_K^2 - 2 r_b \sin{\beta} \cdot y_K + r_b^2 &= \beta^2 r_b^2 \\ (\frac{r_b - y_K \sin{\beta}}{\cos{\beta}})^2 - r_b^2 + y_K^2 &= \beta^2 r_b^2 \\ r_b^2 - 2 r_b \sin{\beta} y_K + \sin^2{\beta} y_K^2 - r_b^2 \cos^2{\beta} + y_K^2 \cos^2{\beta} &= \beta^2 r_b^2 \cos^2{\beta} \\ y_K^2 - 2 r_b \sin{\beta} y_K + r_b^2 \sin^2{\beta} &= \beta^2 r_b^2 \cos^2{\beta} \\ (y_K - r_b \sin{\beta})^2 = (\beta r_b \cos{\beta})^2 \\ y_K = r_b (\sin{\beta} \pm \beta \cos{\beta}) \tag{10} \end{align*} $$
将$(10)$代入$(9)$后可得到如下两个方程组
$$ \begin{equation*} \tag{11} \begin{cases} x_K = r_b(\cos{\beta} + \beta \sin{\beta})\\ y_K = r_b (\sin{\beta} - \beta \cos{\beta})\\ \end{cases} \end{equation*} $$
$$ \begin{equation*} \tag{12} \begin{cases} x_K = r_b(\cos{\beta} - \beta \sin{\beta})\\ y_K = r_b (\sin{\beta} + \beta \cos{\beta})\\ \end{cases} \end{equation*} $$
那么这两个方程组都是渐开线吗？我们可以通过取一些特殊值来求证。我们将$\beta=\pi/2$代入$(11)$可得到$x_K = \frac{\pi}{2} r_b$。代入$(12)$可得$x_K = - \frac{\pi}{2} r_b$。很明显按照$K$的运动轨迹，只有方程$(11)$才是我们想要的渐开线。
那么$(11)$和$(12)$这两个解到底有什么区别呢？我们可以通过数学工具GeoGebra来分别绘制这两条曲线看看情况。
假设$r_b = 3, \beta \in [-2\pi,2\pi]$，我们可以得到如下图五两条曲线。图中绿色曲线为根据$(11)$得到的曲线，红色则为根据$(12)$得到的曲线。浅黄色曲线为半径3的圆。我们从原点做任一直线后与$(11)$交于$B$点，与$(12)$交于$C$点。
我们先看$(11)$的绿色曲线，过$B$点做圆切线并形成$\triangle OBG$，得到$|BG| = |\stackrel{\frown}{AG}|$
再看$(12)$的红色曲线，过$C$点做圆切线并形成$\triangle OCE$，得到$|CE|=|\stackrel{\frown}{AE}|$
单从等式上两个解都满足了渐开线的性质，但是从渐开线定义出发，会发现明显的不同。假设$BG$沿着圆做纯滚动，那么最终形成的就是绿色曲线。$CE$若沿着圆做纯滚动，那$C$点会越来越靠近圆，而不是红色曲线的轨迹。也就是说红色曲线的形成不是$CE$纯滚动的结果。因此只有$(11)$才是正确的渐开线方程
图五
以上是通过解方程的方式得到了参数方程，我们也可以通过更直观的几何法得到方程。我们在第一张图上作辅助线。过$B$点作$x$轴的垂线，交点为$B_{x}$，作$y$轴垂线交于$B_{y}$。过$K$点作$x$轴的垂线，与$x$轴交于点$K_{x}$。过$K$点作$y$轴的垂线，与$y$轴交于点$K_{y}$，与$BB_{x}$交于点$E$。
图六
我们很容易就能得到$\angle KBE = \angle BOB_{x} = \beta$。同时$BK = |\stackrel{\frown}{AB}| = \beta r_b$。
假设E点坐标为$(x_E,y_E)$，C点坐标$(x_C,0)$。$\overrightarrow{OK}$在$x$轴上的分量为$\overrightarrow{OK_{x}}$，在$y$轴上的分量为$\overrightarrow{OK_{y}}$，因此求出这两个分量就能得到点$K$的参数方程。
$$ \begin{align*} OK_{x} &= OB_{x} + B_{x}K_{x} \\ &= OB \cdot \cos{\beta} + BK \cdot \cos{(\pi/2 - \beta)} \\ &= r_{b}\cos{\beta} + \beta r_{b} \sin{\beta} \\ &= r_b(\cos{\beta} + \beta\sin{\beta}) \end{align*} $$
$$ \begin{align*} OK_{y} &= OB_{y} + B_{y}K_{y} \\ &= OB \cdot \cos{(\pi/2 - \beta)} + BK \cdot \cos(\pi - \beta) \\ &= r_{b}\sin\beta - \beta r_{b} \cos\beta \\ &= r_{b}(\sin\beta - \beta \cos\beta) \end{align*} $$
由此可以得到$K$点的参数方程为
$$ \begin{equation*} \begin{align*} \begin{cases} x_K = r_b(\cos{\beta} + \beta \sin{\beta})\\ y_K = r_b (\sin{\beta} - \beta \cos{\beta})\\ \end{cases} \end{align*} \end{equation*} $$
总结
渐开线的极坐标方程及对应的坐标图如下
图七
$$ \begin{equation*} \begin{align*} \begin{cases} x_K = r_b(\cos{\beta} + \beta \sin{\beta})\\ y_K = r_b (\sin{\beta} - \beta \cos{\beta})\\ \end{cases} \end{align*} \end{equation*} $$
渐开线直角坐标方程和对应坐标系如下
图八
$$ \begin{equation*} \begin{align*} \begin{cases} x_K = r_b(\cos{\beta} + \beta \sin{\beta})\\ y_K = r_b (\sin{\beta} - \beta \cos{\beta})\\ \end{cases} \end{align*} \end{equation*} $$
