我在工作时碰到了一个问题：框体的高度为多少可以放入槽体，同时又不会脱出？
如图一和图二所示分别为槽体和框体的3D模型。槽中放入框体的后的状态见图三的示意
图一
图二
图三
我将框体和槽体进行简化成几何体，并标注出已知条件，如图四和图五所示分别为槽体和框体的侧面图。在这些已知条件下，我需要求出框体的高度，使得框体可以顺利放入槽体中。
图四
图五
首先，框体放入槽后不能掉出，所以可以得出$FI_{min}=GH_{min}=280-9=271$ 。所以，我只要求出最大值即可。
如果我从框体如何放入槽内考虑，那这个过程需要考虑的边界条件和参数可能比较多。我从逆向角度考虑，只要框体能够成功放入槽体，那一定也可以顺利从槽内取出。我想到了两种方法来求出最大值：图形法和数学法。
所谓图形法，就是利用CAD软件的约束功能，将框体根据实际情况装入槽体，找到边界条件后即可求出FI的最大值。数学法则是利用图四和图五进行数学建模求出边界值。很明显，在有条件的情况下使用图形法是最为简单直观的，数学法就要复杂一些了。我下面分别使用两种方法来求FI的最大值，并互相验证。
图形法
前面我已经将框体和槽体分别进行了3D建模，这里我暂时将框体高度设定为280（肯定偏大）。我将框体取出的过程分解如下图：
图六
图七
图八
框体绕A点逆时针旋转，F沿着BC边滑动（图七），最终槽体E点与框体GH边重合，框体可以顺利取出（图八），在这个过程中要保证框体不被卡住，只要满足两个条件：
- G点到槽体CD边的距离始终≥0
- H点在图八状态时不超过槽体外侧
由此可知，当H点与E点重合时GH为最大值，我利用测量功能直接测得$GH_{max}=FI_{max}=276.53$
最终我们得到一个取值范围：$271 \le GH = FI \leq 276.53$
数学法
上面的图形法利用软件的优势直接测量得出了结果。如果条件受限无法使用软件，我们就只能通过计算来得到结果。上面已经描述了过程，这里我直接根据图八的状态来求接GH的最大值。
图九
如图九，此时E与H重合。我们过点G作一辅助线，局部如图十及图十一所示，整体图如图十二。
图十
图十一
图十二
由已知条件可知：$\triangle ABF \sim\triangle FGJ \sim\triangle GEK$，假设$BF=x$
$$ \begin{align*} & \because \frac{GF}{AF}=\frac{FJ}{AB}=\frac{GJ}{BF} \\[1em] & \therefore \frac{44}{\sqrt{x^2+9}}=\frac{FJ}{9}=\frac{GJ}{x} \\[1em] & \therefore FJ=\frac{396}{\sqrt{x^2+81}},GJ=\frac{44x}{\sqrt{x^{2}+81}} \\[1em] & KE=DE-DK=DE-CJ=DE-(BC-FJ-BF)=48-(47-\frac{396}{\sqrt{x^{2}+81}}-x)=1+\frac{396}{\sqrt{x^{2}+81}}+x \\[1em] & GK=CD-GJ=280-\frac{44x}{\sqrt{x^{2}+81}} \\[1em] & \because \frac{GK}{AB}=\frac{KE}{BF} \\[1em] & \therefore \frac{280-\frac{44x}{\sqrt{x^{2}+81}}}{9}=\frac{1+\frac{396}{\sqrt{x^{2}+81}}+x}{x} \Rightarrow x = \frac{44\sqrt{71506}+271}{7945} \\[1em] & \therefore GH_{max} =GE = \sqrt{GK^2+KE^2}=276.53 \end{align*} $$
可以看到根据数学法得出的结论与图形法是一致的
即$271 < GH = FI \leqslant 276.53$
在实际设计中，考虑到公差问题，我可能会取个中值273，框体与槽的缝隙可以用胶条进行填充，框体用锁扣锁住，保证框体可以顺利装入的同时不会在里面晃动。
